taylorscher Satz

taylorscher Satz

 

['teɪlə-; nach B. Taylor], Aussage über die näherungsweise Darstellung von Funktionen durch Polynome und ihre Entwicklung in eine Potenzreihe, die taylorsche Reihe. Unter der Voraussetzung, dass f: [a, b] → ℝ eine stetige und in ]a, b[ differenzierbare n-te Ableitung besitzt, gilt für je zwei Punkte x₀, x aus [a, b]

 

wobei

 

das taylorsche Polynom von f vom Grad n heißt und für das Restglied R_n eine Integraldarstellung

 

und weitere, nach ihren Entdeckern benannte Darstellungen existieren. Das Restglied

 

p ∈ ℕ, t ∈ ]0, 1[, von Oscar Xaver Schlömilch (* 1823, ✝ 1901) ergibt für p = 1 die Darstellung von A. L. Cauchy:

 

und für p = n + 1 die Restgliedform von J. L. de Lagrange:

 

Der taylorsche Satz mit der lagrangeschen Form des Restglieds liefert für n = 0 die Aussage des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung.